그래프 이론(Graph Theory)은 객체 간의 관계를 모델링하는 수학적 구조를 다루는 분야입니다. 그래프는 노드(Node)와 노드 사이의 관계를 나타내는 간선(Edge)으로 구성되며, 실제 생활에서 다양한 상황을 표현하고 분석하는 데에 사용됩니다. 그래프 이론은 컴퓨터 과학, 수학, 공학 등 다양한 분야에서 활용되며, 알고리즘 설계, 네트워크 분석, 최적화 등에 중요한 역할을 합니다.
그래프의 기본 개념과 용어는 다음과 같습니다:
- 노드(Node) 또는 정점(Vertex): 객체나 개체를 나타내며, 그래프 내에서 점으로 표현됩니다. 노드는 고유한 식별자를 가지며, 데이터를 포함할 수 있습니다.
- 간선(Edge): 노드 간의 관계를 나타내며, 그래프 내에서 선으로 표현됩니다. 간선은 방향성이 있는 경우도 있고 없는 경우도 있습니다.
- 방향 그래프(Directed Graph): 간선이 방향을 가지며, 한 노드에서 다른 노드로의 방향이 존재하는 그래프입니다.
- 무방향 그래프(Undirected Graph): 간선이 방향을 가지지 않으며, 노드 간의 관계가 양방향으로 존재하는 그래프입니다.
- 가중치(Weight): 간선에 부여되는 가중치로, 노드 간의 거리, 비용, 우선순위 등을 나타낼 수 있습니다.
- 경로(Path): 노드와 간선을 순서대로 나열한 순서입니다. 경로는 시작 노드와 끝 노드가 있을 수 있습니다.
- 사이클(Cycle): 경로의 시작 노드와 끝 노드가 동일한 경우로, 연속적으로 나열된 간선들이 순환하는 구조입니다.
- 인접(Adjacent): 노드 A와 노드 B 사이에 간선이 존재하면, A와 B는 서로 인접하다고 합니다.
그래프 이론에서 다루는 주요 주제는 다음과 같습니다:
- 그래프 표현: 그래프를 컴퓨터에서 표현하는 방법으로는 인접 행렬, 인접 리스트 등이 있습니다. 각각의 표현 방식은 장단점을 가지며, 특정 문제에 따라 선택됩니다.
- 그래프 탐색: 그래프 내에서 노드나 간선을 방문하는 알고리즘으로, 주요 탐색 방법으로는 깊이 우선 탐색(DFS)과 너비 우선 탐색(BFS)이 있습니다.
- 최단 경로 문제: 그래프 내에서 두 노드 간의 최단 경로를 찾는 문제로, 다익스트라 알고리즘, 벨만-포드 알고리즘 등이 사용됩니다.
- 신장 트리: 그래프 내에서 모든 노드를 포함하는 트리로, 최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree)를 찾는 문제가 있습니다.
- 위상 정렬: 방향 그래프에서 노드들을 선형 순서로 나열하는 문제로, 의존성이 있는 작업들의 실행 순서를 결정할 때 사용됩니다.
- 네트워크 플로우: 그래프에서 정해진 용량을 효율적으로 이동시키는 최대 플로우를 찾는 문제입니다.
그래프 이론은 이와 더불어 다양한 응용 분야에서 활용되며, 코딩 테스트나 알고리즘 대회에서도 자주 다루어집니다. 이해를 돕기 위해 예시로 들 수 있는 문제 중 하나는 "최단 경로 찾기", "신장 트리 구하기", "그래프의 사이클 판별" 등이 있습니다.